模态分析与飞行品质

模态分析

纵向

$$\left\{\begin{array}{c} \frac{d \Delta U}{d t}=X_u \Delta u+X_\alpha \Delta \alpha+X_{\delta e} \Delta \delta e+X_{\delta p} \Delta \delta p-g \cos \gamma_0 \Delta \theta \newline \frac{d \Delta \alpha}{d t}=-Z_u \Delta u-Z_\alpha \Delta \alpha+\Delta q+Z_{\delta e} \Delta \delta e+Z_{\delta p} \Delta \delta p-\frac{g \sin \gamma_0}{U_0} \Delta \theta \newline \frac{d \Delta q}{d t}=M_u \Delta u+M_\alpha \Delta \alpha+M_{\dot{\alpha}} \Delta \dot{\alpha}+M_q \Delta q+M_{\delta e} \Delta \delta e \newline \frac{d \Delta \theta}{d t}=\Delta q \end{array}\right.$$ $${\left[\begin{array}{c} \Delta \dot{U} \newline \Delta \dot{\alpha} \newline \Delta \dot{q} \newline \Delta \dot{\theta} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} X_u & X_\alpha+g \cos \gamma_0 & 0 & -g \cos \gamma_0 \newline \frac{-Z_u}{1+Z_{\dot{\alpha}}} & \frac{-\left(Z_\alpha-\left(g \sin \gamma_0\right) / U_0\right)}{1+Z_{\dot{\alpha}}} & \frac{1-Z_q}{1+Z_{\dot{\alpha}}} & \frac{-\left(g \sin \gamma_0\right) / U_0}{1+Z_{\dot{\alpha}}} \newline M_u-\frac{M_{\dot{\alpha}} * Z_u}{1+Z_{\dot{\alpha}}} & M_\alpha-\frac{M_{\dot{\alpha}} *\left(Z_\alpha-\left(g \sin \gamma_0\right) / U_0\right)}{1+Z_{\dot{\alpha}}} & M_q+\frac{M_{\dot{\alpha}}\left(1-Z_q\right)}{1+Z_{\dot{\alpha}}} & -\frac{M_{\dot{\alpha}} g \sin \gamma_0 / U_0}{1+Z_{\dot{\alpha}}} \newline 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} \Delta U \newline \Delta \alpha \newline \Delta q \newline \Delta \theta \end{array}\right]}$$ $$\left[\begin{array}{c} \Delta \dot{U} \newline \Delta \dot{\alpha} \newline \Delta \dot{q} \newline \Delta \dot{\theta} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} X_u & X_\alpha+g & 0 & -g \newline -Z_u & -Z_\alpha & 1 & 0 \newline M_u & M_\alpha & M_q & 0 \newline 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} \Delta U \newline \Delta \alpha \newline \Delta q \newline \Delta \theta \end{array}\right]$$

短周期分析

短时间内，迎角与俯仰角速度迅速变化

$$\left[\begin{array}{c} \Delta \dot{\alpha} \newline \Delta \dot{q} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} -Z_\alpha & 1 \newline M_\alpha-M_{\dot{\alpha}} Z_\alpha & M_q+M_{\dot{\alpha}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} \Delta \alpha \newline \Delta q \end{array}\right]$$

A矩阵的特征根：

$${\left[\begin{array}{cc} S+Z_\alpha & -1 \newline -M_\alpha+M_{\dot{\alpha}} Z_\alpha & S-M_q-M_{\dot{\alpha}} \end{array}\right] =(S+Z_\alpha)(S-M_q-M_{\dot{\alpha}})-M_\alpha+M_{\dot{\alpha}} Z_\alpha}$$ $$S^2+\left(Z_\alpha-M_q-M_{\dot{\alpha}}\right) S-Z_\alpha M_q-M_\alpha=S^2+2 \zeta w_n S+w_n^2$$

由此可得：

$w_n=\sqrt{-Z_\alpha M_q-M_\alpha} \propto-C_{L \alpha} * C_{m q}-C_{m \alpha}$

【其中$C_{mq}<0,C_{m\alpha<0}$，因此$C_{mq}$与$C_{m\alpha}$的绝对值越大，频率越大】

$2 \zeta w_n=Z_\alpha-M_q-M_{\dot{\alpha}}$

【其中$C_{mq}<0,C_{m\dot\alpha<0}$，因此$C_{mq}$与$C_{m\dot\alpha}$的绝对值越大，总阻尼越大】

长周期分析

长时间后，迎角与力矩基本平衡，忽略迎角的变化和力矩的变化

$$\left[\begin{array}{c} \Delta \dot{U} \newline \Delta \dot{\alpha} \newline \Delta \dot{\theta} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} X_u & -g \newline -Z_u & 0 \newline 0 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \Delta U \newline \Delta \theta \end{array}\right]$$

即

$$\left[\begin{array}{c} \Delta \dot{U} \newline \Delta \dot{\alpha} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} X_u & -g \newline -Z_u & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \Delta U \newline \Delta \theta \end{array}\right]$$

A矩阵的特征根：

$$\left[\begin{array}{cc} S-X_u & -g \newline -Z_u & S \end{array}\right] =S(S-X_u)-gZ_u$$ $$S^2-X_uS-gZ_u=S^2+2 \zeta w_n S+w_n^2$$

由此可得：

$$\begin{aligned} & w_n=\sqrt{-g Z_u} \propto-C_{L u} \newline & 2 \zeta w_n = - X_u \propto-C_{D u} \newline \end{aligned}$$

其中：$X_u=\frac{-\left(C_{D U}+2 C_{D 0}\right) q_0 S}{m U_0}, Z_u=\frac{\left(C_{L U}+2 C_{L 0}\right) q_0 S}{m U_0}, M_u=\frac{\left(C_{M U}+2 C_{M 0}\right) q_0 S c}{I_y U_0}$

横侧向

$$\left\{\begin{array}{c} \Delta F_y=Y_\beta \Delta \beta+Y_p \Delta p+Y_r \Delta r+G \cos \theta_0 \Delta \phi+Y_{\delta T} \Delta \delta T \newline \Delta L=L_\beta \Delta \beta+L_p \Delta p+L_r \Delta r+L_{\delta T} \Delta \delta T \newline \Delta N=N_\beta \Delta \beta+N_p \Delta p+N_r \Delta r+N_{\delta T} \Delta \delta T \newline \frac{d \Delta \phi}{d t}=\Delta p+\tan \theta_0 \Delta r \end{array}\right.$$ $$\left[\begin{array}{c} \Delta \dot{\beta} \newline \Delta \dot{p} \newline \Delta \dot{r} \newline \Delta \dot{\phi} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} \bar{Y}_\beta & \bar{Y}_p+\alpha_* & \bar{Y}_r-1 & g \cos \theta_* / V_* \newline \bar{L}_\beta & \bar{L}_p & \bar{L}_r & 0 \newline \bar{N}_\beta & \bar{N}_p & \bar{N}_r & 0 \newline 0 & 1 & \tan \theta_* & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \Delta \beta \newline \Delta p \newline \Delta r \newline \Delta \phi \end{array}\right]$$ $$\left[\begin{array}{c} \Delta \dot{\beta} \newline \Delta \dot{p} \newline \Delta \dot{r} \newline \Delta \dot{\phi} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} \bar{Y}_\beta & \bar{Y}_p & \bar{Y}_r-1 & g / V_* \newline \bar{L}_\beta & \bar{L}_p & \bar{L}_r & 0 \newline \bar{N}_\beta & \bar{N}_p & \bar{N}_r & 0 \newline 0 & 1 & \tan \theta_* & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \Delta \beta \newline \Delta p \newline \Delta r \newline \Delta \phi \end{array}\right]$$

简化推导太难了，直接放结果

荷兰滚

$$2{\zeta _d}{\omega _{nd}} = - \left( { { {\bar N}_r} + { {\bar Y}_\beta }} \right) + \frac{ { { {\bar L}_\beta }}}{ { { {\bar N}_\beta }}}\left( { - { {\bar N}_p} + \frac{g}{V}} \right) \newline \frac{ { { {\bar L}_\beta }}}{ { { {\bar N}_\beta }}} = \frac{ { {C_{l\beta }} \cdot {I_x}}}{ { {C_{n\beta }} \cdot {I_z}}}$$

【$\bar N_r<0,\bar Y_\beta<0$，即第一项大于0；$\bar L_\beta<0$,$\bar N_p<0$，因此第二项小于0】

【$\bar N_r$、$\bar Y_\beta$的绝对值越大，$\bar N_p$的绝对值越小，$\frac{ {\bar L}_\beta }{ {\bar N}_\beta }$的绝对值越小，总阻尼越大】

$\bar L_r>0$越大，荷兰滚阻尼增大；$\bar L_p<0$，$\bar N_p<0$，绝对值增大会略微增加荷兰滚阻尼

螺旋模态

对于四阶方程$a_0s^4+a_1s^3+a_2s^2+a_3s+a_4=0$

忽略高阶项得到：$a_3s+a_4=0$

得到：$s=-\frac{a_4}{a_3}$

【$\bar N_r$的绝对值越大，螺旋模态越稳定】

$\bar L_r>0$越大，螺旋模态时间常数减小；$\bar L_p<0$，$\bar N_p<0$，绝对值增大会略微增加螺旋时间常数

滚转收敛模态

$$\lambda_R=\frac{C_{l p} b_1}{I_x} \newline T_R=-\frac{1}{\lambda_R}$$

$C_{lp}$是正比于的$C_{L\alpha}$，大迎角会发散

飞行品质等级

纵向品质等级

短周期模态
飞行阶段	航行阶段		起落阶段
	最大	最小	最大	最小
等级1	2	0.3	1.3	0.35
等级2	2	0.2	2	0.25
等级3	—-	0.15	—-	0.15
长周期模态
等级1		ξ>0.04
等级2		ξ>0
等级3		T2>55s

横侧向品质等级

滚转收敛模态要求
巡航状态	等级1	等级2	等级3
时间常数	1.4	3	10
荷兰滚模态要求
巡航状态	ξ最小值	ξωn最小值	ωn最小值
等级1	0.19	0.35	1
等级2	0.02	0.05	0.4
等级3	0.02	—-	0.4
螺旋模态要求
巡航状态	等级1	等级2	等级3
倍幅时间	12s	8s	4s

操纵性

纵向静操纵性：增加每过载的舵偏量

$$\frac{\partial \delta_e}{\partial n_n}=-\frac{\left(\frac{\partial C m}{\partial C L}+\frac{C_{m q} \rho S c_A}{2 m}\right) m g}{C_{m \delta_e \bar{q} S}}$$

伯德图

开环系统的三个频段

低频段是指伯德图在第一个转折频率之前的区间，该段区间由开环增益和积分环节决定；中频段是指Bode图在截止频率$w_c$附近的区间；高频段是指频率 $w>10w_c$的区间。

低频段【系统稳定精度】

该低频段的斜率愈小，位置愈高，对应于系统积分环节的数目愈多，开环增益K值愈大。故其闭环系统在满足稳定的条件下，其稳态误差愈小，系统的稳态精度愈高。

中频段【系统动态性能】

该中频段斜率小于-60，则很难使闭环系统稳定；若等于-40，所占频率区间不宜过宽，则闭环系统可能稳定，即使稳定，其相稳定裕度也较小，系统的平稳性较差；如果中频段斜率为-20，且占据较宽的频段区间，一般说来，不仅可以保证系统稳定，而且可以使相稳定裕度增大，取得较好的平稳性。同时以提高截止频率来保证系统要求的快速性。

高频段【系统抗干扰】

系统开环对数幅频在高频段的幅值，直接反映了系统对输入高频干扰信号的抑制能力。高频特性的分贝值愈低，系统抗干扰能力愈强。

闭环系统的稳定性

控制系统的带宽一般指闭环系统的bode图中幅频特性曲线下降到－3分贝所对应的频率，注意这里是闭环系统的幅频特性，不是分析稳定性用的开环系统幅频特性。

控制系统的带宽主要由其闭环传递函数的零极点决定，反映了当参考信号高于此频率后时，系统将无法以正常幅度跟踪，因而带宽越大，系统能响应的频率也越快。

飞行力学评估的主要内容

飞行性能

1.飞行包线

平飞的速度高度包线

失速-最大推力

平飞的速度过载包线

给定过载，

2.平飞性能

3km海拔，不同速度下的推力、功率、迎角、舵量、航时航程

3.无动力下滑性能20→3

最大滑翔比

等速度下滑

4.爬升性能

巡航状态、最大油门所达到的最大爬升性能

5.定常盘旋性能

过载与滚转角的关系

0km不同滚转角、速度对应的盘旋半径、盘旋角速度

3km不同滚转角、速度对应的盘旋半径、盘旋角速度

飞行品质

1.静稳定性

纵向稳定性—稳定裕度

横侧向稳定性

2.纵向模态

短周期模态阻尼比和CAP—5个高度、3个速度

长周期模态阻尼比—5个高度、3个速度

3.横航向模态

荷兰滚阻尼、频率

滚转收敛

螺旋模态